弁護士に依頼する場合は、その費用を決めてから、
委任することになっています。

きちんと、約束をしないのはいけません。

また、回収できるか否かよく見極めて、弁護士に
依頼するかを決めるのが通常です。

回収できる見込みがない場合は、受任しないこと
があります。

ただ、弁護士が、請求書を作って、相手方に連絡する行為
の報酬として、6万円は高くはないかと思います。