はじめまして。ご回答お願いいたします。

ICレコーダーにとったものの、一部を証拠として提出することは大丈夫ですか。
いいとこどり　しているように思われませんか？
あと、この様な録音の証拠としての価値は高いのでしょうか。

相手方は、全部出せと要求するはずです。
全部出すのがいいでしょう。

その内容や、取った状況などにもよります。
弁護士に相談してみてください。